Medida de la superficie limitada por la circunferencia.
Su fórmula es A = π * r²
Donde π es la constante de valor 3.14592….. (que podemos redondear a 3.1416) Y r es la medida del radio del círculo

Ejemplo 1

Si se tiene una círculo de 10 cm de radio ¿cuál será su área?
A = 3.1416 * (10 cm)²
A = 3.1416 * 100 cm²
A = 314.16 cm²

Ejemplo 2

Si un círculo tiene 900 cm2 de área. ¿Cuánto mide su radio?
Despejando r de la fórmula original se tiene
r² = A/π
De donde se deduce que r = √(A/π)
Para nuestro ejemplo r =√(900 cm²/3.1416)
r = 16.93 cm

Deducción área del círculo mediante el uso de la geometría

Supóngase que para encontrar el área del círculo se necesita encontrar el área de todos los triángulos que pueden circunscribirse. Tenemos que encontrar el área de uno de estos triángulos y sumar todos los triángulos que sean posibles que de hecho es igual a encontrar el área de un polígono regular circunscrito de ¨n¨ lados.

El problema al parecer es escoger cuantos lados. Pero vamos a suponer que ¨n¨ es tan grande que prácticamente los lados coinciden con la circunferencia.

De esta forma tenemos que el Área del polígono regular es igual n veces el área de cada triángulo y a su vez igual al área del círculo.

Sea Ap el área del polígono que es igual al área del círculo que circunscribe Ac, entonces Ap = n x At, donde At es el área del triángulo
At = ½ * apotema * base = ½ * r * base = el radio es el apotema
Luego el área del polígono es
Ap = n * (½ * r * base) que puede escribirse como
Ac = ½ * r * (n * base) Ec. 1
Recuerde construimos un polígono regular tal que Ap = Ac

Como asumimos que el polígono coincide con la circunferencia y como n * base es igual al perímetro del polígono que en este caso es igual a la longitud de la circunferencia. Concluimos que n * base = 2πr que se sustituye en Ec. 1 para obtener

Ac = ½ * r * (2πr)
Luego Ac = π * r²

Deducción área del círculo mediante el uso del cálculo integral

El área del diferencial (rectángulo) es igual a dA = f(x) dx
Donde dx es la base del rectángulo y f(x) es la altura. Nos ubicamos solo en el primer cuadrante de donde obtenemos que el área de un cuarto del círculo puede expresarse como

Por tanto el área total será

Resolvemos la integral